三角比の定義
直角三角形の斜辺をr、対辺をy、対辺ではない方の隣辺をxとおく。また、rとxのなす角をθとおく。このとき、三角比（三角関数）はそれぞれ以下のように表される。
Def.
- 正弦：\(sinθ=\frac{y}{r}\)
- 余弦：\(cosθ=\frac{x}{r}\)
- 正接：\(tanθ=\frac{y}{x}\)
三角比の相互関係
三角比に関して、以下の関係が成り立つ。
formula
- \(tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\)
- \(sin^2θ+cos^2θ=1\)
- \(1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}\)
1.
上図の三角形において、三角比の定義より、\(y=r sinθ, x=r cosθ\)が成り立つ。
従って、\(tanθ=\frac{y}{x}=\frac{r sinθ}{r cosθ}=\frac{sinθ}{cosθ}\) ■
2.
三平方の定理より、
\(x^2+y^2=r^2\)
\((r sinθ)^2+(r cosθ)^2=r^2\)
両辺を\(r^2\)で割って、\(sin^2θ+cos^2θ=1\) ■
3.
\(sin^2θ+cos^2θ=1\)の両辺を\(cos^2θ\)で割ると、
\((\frac{sinθ}{cosθ})^2+1=\frac{1}{cos^2θ}\)
\(∴1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}\) ■